In seiner Karriere gewann er bei Grand-Slam-Turnieren vier Doppeltitel und stand zudem zwei Mal im Finale eines Herreneinzels. Curren verlor bei den Australian Open 1984 im Finale gegen Mats Wilander in vier Sätzen. In Deutschland ist er in Erinnerung durch seine Niederlage im Finale von Wimbledon 1985. Er unterlag Boris Becker mit 3:6, 7:6, 6:7 ...